Deret Fourier dan Penemunya

Jean-Baptiste Joseph Fourier
(21 Maret 1768 - 16 Mei 1830)

Joseph Fourier

Masa kecil

            Fourier lahir pada tanggal 21 Maret 1768 di Auxerre, Perancis. Anak seorang penjahit, dari istri kedua yang memberinya selusin orang anak, dimana Joseph adalah anak ke sembilan. Ibunya meninggal saat dia berusia 9 tahun disusul oleh ayah setahun berikutnya. Anak yatim piatu ini kemudian diasuh oleh Uskup di Auxerre dengan biaya ditanggung oleh seorang wanita bangsawan yang tertarik dengan kesopanan dan perilaku sopan anak tersebut – tanpa sedikitpun bermimpi anak ini kelak menjadi apa. Uskup itu mengirim Fourier ke Ecole Royale Militaire di Auxerre, dimana baru diketahui bahwa anak itu adalah anak genius. Umur 12 tahun menulis kotbah yang akan dibawakan oleh pastor untuk gereja di Paris dan kota besar lainnya. Herannya, umur 13 tahun, Fourier mendadak berubah menjadi seorang anak sulit diatur, melawan, bandel sekaligus pemberang. Hal ini tidak berlangsung lama setelah secara tidak sengaja berkenalan dengan matematika pada umur 14 tahun. Saat itu dia belajar 6 buku Bezout, Cours de mathematique. Matematika – seperti sihir - ternyata mampu menaklukkan perilaku tidak terpuji Fourier. Tahun 1783, Fourier mendapat hadiah pertama dalam mempelajari karya Bossut, Mechanique en general.

            Belajar matematika ternyata butuh perjuangan tersediri. Malam hari saat tidak ada penerangan namun pada siang harinya, Fourier mengumpulkan sisa-sisa pembakaran lilin dari dapur atau dari kolege, guna dilebur menjadi lilin penerangan untuk belajar matematika di malam hari. Fourier belajar matematika secara diam-diam, di belakang perapian atau di balik layar gereja, dengan cita-cita agar pada umur 21 tahun mampu menyamai prestasi Newton dan Pascal.

Menjadi pendeta

            Kolege menyuruh Fourier menjadi seorang pendeta, dimana sebelumnya diharuskan mengikuti masa percobaan di Saint Benoit. Minat matematika tetap ada dan dia selalu berkirim surat dengan C.L. Bonard, profesor matematika di Auxerre. Fourier merasa tidak yakin bahwa dia membuat keputusan yang benar untuk menjadi pendeta.

            Mengirim makalah tentang aljabar kepada Motucla di Paris sebelum akhirnya menulis surat kepada Bonard bahwa dia akan membuat penemuan dalam bidang matematika. Nasib menjadi pendeta rupanya belum datang padanya. Sebelum Fourier diambil sumpahnya, terjadilah revolusi Perancis 1789. Minat sebenarnya adalah menjadi prajurit tapi paksaan dari komisioner membuat anak penjahit ini sulit memenuhi cita-citanya. Revolusi membuat segalanya berubah dan bebas. Teman-teman lamanya di Auxerre memiliki pandangan luas dan mengetahui bahwa Fourier tidak cocok menjadi biarawan. Mereka mengangkat Fourier menjadi profesor matematika. Mengajar hanya apabila pengajar lain sakit atau berhalangan, namun Fourier ternyata lebih mampu daripada yang digantikan. Mengajar fisika hingga sejarah. Umur 21 tahun pergi ke Paris untuk mengantar hasil penelitiannya tentang solusi persamaan-persamaan numerikal ke Academie yang diketuai oleh Lagrange. Karya ini menarik perhatian Lagrange sehingga saat pulang ke Auxerre, Fourier dipenuhi dengan kegembiraan. Lewat keahliannya mengarang khotbah, dia bergabung dengan sebuah partai politik, dan mampu menjadi orator ulung.

Pengajar dadakan

            Sejak awal Fourier memang menyukai politik (baca: revolusi) sampai akhirnya datang. Selama terjadi kekacauan, dia melupakan bahaya dengan menyatakan bahwa tidak perlu bertindak di luar batas (brutal). Ilmuwan yang terjun langsung saat revolusi. Bergabung dengan massa dan melakukan pembaharuan dalam bidang sains dan budaya yang diidamkan oleh para intelektual. Fourier memandang bahwa saat revelosi, ilmuwan terlibat atau justru sebaliknya, melarikan diri ke negara lain, sedangkan sains itu sendiri harus berjuang dengan nasibnya sendiri melawan gelombang dasyat barbarisme. Napoleon mampu melihat problem ini, sehingga dicanangkan pembangunan sekolah-sekolah. Tidak ada guru, sehingga dibuat program pengadaan guru. Timbul kebutuhan untuk melatih ribuan guru. Untuk tujuan inilah Ecole Normale didirikan pada tahun 1794 dan sebagai penghargaan dalam rekruitmen di Auxerre, Fourier diangkat menjadi ketua bidang matematika. Mulailah era baru pengajaran matematika di Perancis. Dibuat konvensi bahwa para pengajar matematika juga harus mengajar dengan bahan-bahan yang tersedia. Kuliah diberikan dengan berdiri, dan terjadi interaksi antara siswa dengan pengajar. Kuliah cara ini sukses besar – di luar dugaan para penggagasnya, dicatat sebagai salah satu periode keberhasilan dalam sejarah sains dan matematika Perancis. Sukses diraih meskipun usia Normale masih sangat singkat, mempertahankan keberadaan Polytechnique, dan memberi gairah baru dalam kuliah matematika lewat kilas-balik sejarah, memberikan abstraksi-abstraksi dengan penerapan-penerapan yang disajikan secara menarik adalah bukti bahwa Fourier cocok untuk mengajar.

Menyerbu Mesir

            Fourier masih bekerja sebagai insinyur dan menjadi matematikawan di Polytechnique ketika Napoleon pada tahun 1798 memutuskan untuk mengajak Fourier sebagai salah seorang anggora legiun budaya dalam upaya Napoleon untuk “meningkatkan” peradaban Mesir. Penyerbuan Mesir dilakukan dengan dalih agar Mesir juga menikmati “peradaban Eropa.” Monge, Berthollet dan Fourier adalah tiga “patriot” dari peradaban Eropa, dengan melupakan ambisi pribadi, mengerjakan tugas misionaris ini. Armada Perancis yang terdiri dari 500 kapal mendarat di Malta pada 9 Juni 1798, dan diperlukan waktu 3 hari untuk menaklukkan kota. Monge mendirikan 15 sekolah dasar dengan kurikulum mirip Polytechnique. Seminggu kemudian, Napoleon dengan armada lain (l’Orient) mendarat. Ekspedisi dilanjutkan dan mendarat di Alexandria pada 1 juli 1798. Legiun budaya diperintahkan Napoleon menyusur sungai Nil dengan boat menuju Kairo.
            Napoleon menembakkan meriam dan membakar rumah-rumah di pinggir sungai Nil. Tidak ada perlawanan berarti karena rakyat Mesir tidak mempunyai persenjataan yang memadai. Kemenangan dengan mudah diraih dan setelah terjadi “pertempuran Piramid”, Kairo dapat direbut. Kembali, tiga “patriot” mendirikan Institut Mesir (parodi Institut de France) pada tanggal 27 Agustus 1798, yang akhirnya terbengkelai “mati” seperti mumi. Bukan berarti penduduk Mesir yang tidak “beradab” berdiam diri, dalam suatu pertempuran di kota 300 prajurit Napoleon yang terkenal gagah berani dipenggal kepalanya. Banyaknya prajurit Napoleon mati saat melintasi gurun dan ancaman serangan armada Inggris, membuat misi “budaya” ini dikaji ulang. Napoleon sendiri kembali ke Perancis pada tahun 1799, sedang Fourier kembali ke Paris pada tahun 1801.

Menjadi petinggi di Grenoble

            Pulang dari Mesir, Fourier diangkat sebagai prefect (=setingkat bupati) yang mempunyai kantor pusat di Grenoble. Wilayah itu sedang mengalami pergolakan politik; tugas perdana Fourier adalah membuat peraturan daerah sehingga menghadapi banyak tentangan dari para oposisi. Saat di Mesir, Fourier mengepalai riset arkheologi, penduduk Grenoble “tergganggu” dalam implikasi religius dengan adanya institut, teristimewa tentang umur prasasti-prasasti kuno, yang bertentangan - dalam bayangan mereka - dengan kronologis pada alkitab. Setelah Fourier mengambil-alih semua tanggung jawab dan prasasti-prasasti tersebut diangkut di dekat rumahnya, semua gunjingan mulai hilang. Tanggung jawab Fourier ditunjukkan dengan mengemban tugas-tugas mulia. Dua prestasi besar dalam posisi administrasi adalah: pertama, mengeringkan rawa-rawa di daerah Bourgoin sehingga tidak lagi berjangkit penyakit malaria dan kedua, membangun jalan besar dari Grenoble ke Turin sehingga dapat mengejar ketinggalan dibanding kota-kota lain.
            Tidak lupa Fourier juga menulis Gambaran tentang Mesir (Description of Egypt) yang belum selesai pada tahun 1810, karena Napoleon melakukan banyak perubahan, sebelum diterbitkan. Pada saat buku ini terbit edisi keduanya, semua rujukan tentang Napoleon sudah dihapus.
            Pada saat bersamaan, Fourier mengerjakan karya matematika untuk teori tentang panas. Dimulai pada tahun 1804 dan baru selesai tahun 1807, On the Propagation of Heat in Solid Bodies. Makalah ini dibacakan di Instritut Paris pada tanggal 21 Desember 1806 dengan komite terdiri dari Langrange, Laplace, Monge dan Lacroix. Saat itu makalah tersebut mengundang kontroversi. Dua alasan dapat disebut, mengapa komite tidak suka dengan makalah ini?. Penolakan pertama datang dari Lagrange dan Laplace pada tahun 1808, karena “penjelajahan” fungsi-fungsi sebagai deret trigonometri yang lazim disebut dengan deret Fourier. Penolakan kedua, dibuat oleh Biot yang mencela turunan dari persamaan-persamaan perubahan panas. Disusul sanggahan dari Laplace dan Poisson. Akan tetapi tidak mengoyahkan Fourier, dan makalah itu mendapat penghargaan matematika pada tahun 1811.

Deret Fourier

Fourier mengarang buku Theorie analytique de la chaleur (teori matematika tentang panas), karya puncak tentang fisika matematikal.

Fourier menyinggung tentang Sin dan Cos dalam bukunya Periodicity, dimana didalamnya juga termaktub deret Fourier yang terkenal itu. Buatlah lingkaran dengan jara-jari = 1. Gambar lingkaran tersebut dengan pusat di titik 0 pada geometri Kartesian. Juga, gambar lengkungan AB yang panjangnya 2p (keliling lingkaran = 2p, karena jari-jari = 1).
Titik P – dengan dengan besar OQ – mengawali putarannya dari titik A memutar sepanjang lingkaran berlawanan dengan jarum jam, bergerak sehingga Sin segi-tiga POB atau juring POA. Pada posisi manapun, titik P, sudut POA adalah bagian dari empat-kuadran atau lingkaran (360°) sehingga titik P melintas penuh semua titik (kedudukan) lingkaran. Jadi dapat diketahui bahwa sudut POA yang makin besar digambar dari lengkungan AB dengan besar 2p yang sama panjangnya dengan lengkungan AP. Saat titik P mencapai titik C, ¼ dari keseluruhan lingkaran sama dengan sudut COA dapat digambar pada titik R, besar ¼ lengkungan AB dari titik A. Apabila diterukan akan tercipta lengkungan (kurva sinusoid) berikutnya. Tidak tertutup kemungkinan, kurva dimulai dengan mengikuti arah jarum jam, sehingga kurva dimulai dari bawah garis horisontal.
Jika x adalah besar sudut, maka persamaan:

Sin (x + 2p) = Sin x

Mengekspresikan kenyataan bahwa sin x adalah fungsi dari x yang mempunyai periode 2p, begitu pula:

Cos (x + 2p) = Cos x

Mengamati kurva Sin 2x akan melintasi periode “dua kali lebih cepat” dibanding Sin x, dan kurva adalah setengah periode Sin x. Begitu pula untuk Sin 3x yang membutuhkan hanya 2p/3. Hal yang sama juga berlaku untuk Cos x, Cos 2x, Cos 3x, …
Deret Fourier yang penuh kontrobversi pada saat itu adalah:

y = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + a3 cos 3x + … + b1 sin x + b2 sin 2x + b3sin 3x + …

Notasi tiga titik menunjuk bahwa persamaan itu sampai tidak terhingga; dan koefisien a0, a1, a2,…, b1, b2, b3 … dapat ditentukan apabila nilai y ditentukan dan x diketahui.
Konsep periodik (sederhana) seperti yang dijabarkan di atas sangat penting dalam mengamati fenomena alam; gelombang, orbit bulan, musim dan berbagai fenomena lain dengan periode sebagai ciri-cirinya.


Menentang kembalinya Napoleon

            Saat Napoleon kalah dan lari dari Elba, jalan yang ditempuh Napoleon melewati Grenoble. Ketika Monge mendengar bahwa Napoleon dengan pasukannya akan melewati Grenoble, Fourier sangat kuatir. Fourier membujuk rakyatnya untuk menentang Napoleon dan menjadi pembela raja. Mengetahui kenyataan ini, Napoleon marah besar. Fourier akhirnya menjadi penengah agar tidak terjadi perang saudara. Napoleon akhirnya mengangkat Fourier menjadi prefect di Rhone. Meskipun Fourier menolak perintah, barangkali dari [Lazare] Carnot, yang menyatakan agar semua simpatisan raja diganti, namun Fourier tetap dapat menarik simpati Napoleon yang akan memberinya uang pensiun 6000 frank, terhitung 1 Juli 1815. Pada tanggal itu ternyata Napoleon kembali kalah (perang) dan uang pensiun tidak pernah diterima dan Fourier kembali ke Paris.
            Fourier masuk Academie des Sciences pada tahun 1817. Tahun 1822, Delembre, Sekretaris bagian matematika Academie, meninggal dan Fourier bersaing dengan Biot dan Arago guna menggantikan. Arago mengundurkan diri dan Fourier – lebih populer daripada Biot – terpilih menjadi sekretaris. Dalam kapasitas jabatan itu, Academie menerbitkan karyanya yang memenangkan kontes, Theorie analytique de la chaleur pada tahun 1822. Bukan karena manuver politik, karena sebenarnya sudah akan diterbitkan oleh Delembre sebelum meninggal.

Masa tua

            Semasa tua tinggal di Paris, Fourier banyak melakukan riset matematika dan menerbitkan banyak makalah, beberapa adalah matematika murni dan sebagian lagi tentang aplikasi matematika. Bukan berarti hidupnya tanpa problem. Kontroversi tentang teori panas masih dicerca oleh Biot dan Poisson. Dinyatakan bahwa teknik matematika Fourier tidak sahih dan tidak mempunyai teori alternatif. Bantahan dari Fourier dinyatakan lewat Historical Precis, meski sudah dikirim kepada para matematikawan, tapi tidak pernah diterbitkan.
Masa-masa tua menjadi sekretaris Acedemie membuat dia membutuhkan pendengar yang baik (layaknya orang tua). Selalu bercerita tentang petualangan di Mesir dan prestasi sains yang menjadi kebanggaannya, tercampur antara fakta dan fiksi. Fourier meninggal karena sakit liver (ada diagnosa penyumbatan arteri) pada usia 63 tahun.

Sumbangsih

            Nama Fourier selalu identik dengan deret Fourier-nya yang sangat terkenal. Kurva sinusoid yang digambar dengan menggunakan geometri Kartesian banyak bermanfaat bagi pengembangan goniometri pada umumnya dan matematika pada khususnya. Teori tentang panas merupakan kepeloporan Fourier dalam bidang ini sebelum dilanjutkan oleh Lord Kelvin.
Matematika murni dan terapan – terutama untuk fisika, dikembangkan oleh Fourier. Penggunaan persamaan diferensial parsial dalam riset untuk teori tentang panas adalah sebuah langkah besar dalam aplikasi matematika.